Wir behandeln das Thema Topologie Optimierung eines elastoplastischen Objekts, welches von äußeren Kräften beeinflusst wird und zeigen, dass es eine optimale Konfiguration des Modells mit eindeutiger Grenzschicht und des Modells mit Phasenübergang gibt, wo die Dichte des Materials stetig ist. Zuerst präsentieren wir den Aufbau des Modells und modellieren die Bewegung des Objekts. Dabei wird das elastoplastische Verhalten durch die Minimierung eines Energie Funktionals beschrieben. Deshalb beweisen wir, mit Hilfe der \textit{Direkten Methode der Variationsrechnung}, dass ein solcher Minimierer existiert. Anschließend beweisen wir, dass sowohl für das Problem mit eindeutiger Grenzschicht, als auch für das Problem mit Phasenübergang eine Lösung existiert. Schlussendlich zeigen wir, dass unter geeigneten Bedingungen das Modell mit Phasenübergangen, bezüglich Gamma-Konvergenz, gegen das Modell mit eindeutiger Grenzschicht konvergiert.

In this thesis we discuss the topic topology optimization for an elastoplastic object which is influenced by external forces and show that there exists an optimal configuration for the sharp-interface model, as well as for the phase-field approach, where the material density is continuous. First, we introduce our setting and model the motion of the medium. Here, the elastoplastic behaviour is described by the minimization of a specific energy functional. Following this, we prove the existence of such a minimizer, using the \textit{Direct Method of the Calculus of Variations}. Subsequently, we prove that both the sharp-interface problem, as well as the phase-field problem admit a solution. Eventually, we show that under suitable conditions the phase-field model converges to the sharp-interface model with respect to gamma-convergence.