In dieser Masterarbeit erkunden wir Aspekte der Ramsey-Theorie im Kontext der Deskriptiven Mengenlehre. Die motivierende Fragestellung lautete: Wann gibt es für eine borelsche Funktion von einer abzählbaren borelschen Äquivalenzrelation E nach 2 eine E-vollständige homogene Borel-Menge? Wir beschäftigen uns hauptsächlich mit zwei verwandten Fragen: Wann kann der darunterliegende Raum als abzählbare Vereinigung von homogenen Borel-Mengen geschrieben werden? Welche Relevanz hat die übliche Methode, um Gegenbeispiele für Ramsey-Aussagen im Unendlichen zu konstruieren, i.e. das Vergleichen von zwei linearen Ordnungen, im neuen Kontext?
Zu Beginn untersuchen wir die Hausdorff-Kondensation von linearen Ordnungen und geben zwei Beweise dafür, dass ω1 eine strikte obere Schranke für das Supremum der Hausdorff-Ränge von bestimmten definierbaren Mengen von zerstreuten linearen Ordnungen ist. Anschließend untersuchen wir die stetige Einbettbarkeit in der Klasse von Paaren analytischer gerichteter Graphen auf polnischen Räumen, deren gemeinsame borelsche chromatische Zahl überabzählbar ist. Viele Resultate einer Arbeit von Miller und Lecomte werden zu Paaren von analytischen gerichteten Graphen verallgemeinert, insbesondere die Basis- und Anti-Basis-Resultate. Abschließend untersuchen wir die Klasse von borelschen Funktionen f : E\∆(X) → 2, wobei E eine nicht-glatte borelsche Äquivalenzrelation auf einem polnischen Raum ist und jede Borel-Menge B, für welche f | ((E \ ∆(X)) | B) konstant ist, E-glatt ist. Es gibt ein natürliches Beispiel f0 einer solchen Funktion, die minimal unter jenen Funktionen ist, deren Domäne von einer abzählbaren Äquivalenzrelation kommt.

This thesis explores aspects of Ramsey theory in the descriptive set-theoretic context. The motivating question was: When does a Borel function from a countable Borel equivalence relation E to 2 admit an E-complete homogeneous Borel set? This thesis mostly focuses on two related questions: When is the underlying space a countable union of homogeneous Borel sets? In the new context, what is the relevance of the usual method of constructing counterexamples to infinitary Ramsey statements by comparing two linear orders?
First, we look at the Hausdorff condensation of linear orders and give two proofs of the fact that ω1 is a strict upper bound for the supremum of the Hausdorff ranks of certain definable sets of scattered linear orders. Then, we deal with continuous embeddability in the class of pairs of analytic directed graphs on a Polish space whose joint Borel chromatic number is uncountable. Many results from a paper by Miller and Lecomte are generalized to pairs of analytic directed graphs, most importantly the basis and anti-basis results. Finally, we look at the class of Borel functions f : E \∆(X) → 2, where E is a non-smooth Borel equivalence relation on a Polish space X, with the property that every Borel set B for which f | ((E \ ∆(X)) | B) is constant is E-smooth. There is a natural example f0 of such a function, which turns out to be minimal among the functions whose domain comes from a countable equivalence relation.