Title (eng)
Splitting theorems in Riemannian and Lorentzian geometry
Parallel title (deu)
Spaltungstheoreme in Riemann- und Lorentzgeometrie
Author
Argam Ohanyan
Advisor
Roland Steinbauer
Assessor
Roland Steinbauer
Abstract (deu)
Das Ziel dieser Arbeit ist eine Darstellung der Spaltungstheoreme, die in der Riemann- und Lorentzgeometrie von Relevanz sind.
Nach einem vorbereitenden Kapitel, in dem wir notwendiges Hintergrundmaterial sammeln, wenden wir uns in Kapitel 1 dem Cheeger-Gromoll Spaltungstheorem aus der Riemanngeometrie zu. Dabei orientieren wir uns nicht am Originalbeweis [4] von Cheeger und Gromoll, in dem ganz essenziell Methoden aus der Theorie der elliptischen Operatoren zum Einsatz kommen. Stattdessen präsentieren wir eine abgeänderte Variante des Beweises aus [5], was sich als starke Vereinfachung herausstellt und wo die Techniken aus der Theorie der elliptischen Operatoren keine so fundamentale Rolle spielen wie in [4]. Das ist der Hauptgrund, warum sich der Beweis auf den Lorentzschen Fall anpassen lässt, denn der Laplace-Operator in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit ist hyperbolisch. Die Haupttechniken, die in unserer Version des Beweises zum Einsatz kommen, sind Barrierefunktionen
und ein verallgemeinertes Maximumsprinzip von Calabi.
Kapitel 2 ist dem Lorentzschen Spaltungstheorem gewidmet und stellt den Hauptteil dieser Arbeit dar. Es zeigt sich, dass man im Rahmen dieses Theorems von der betrachteten Raumzeit entweder zeitartige geodätische Vollständigkeit oder globale Hyperbolizität annehmen kann. Dabei unterscheiden sich die Techniken, die in den Beweisen dieser beiden Versionen zum Einsatz kommen. In diesem Zusammenhang besprechen wir die relevante Fachliteratur. Danach widmen wir uns dem Beweis des Spaltungstheorem, machen aber beide der oben genannten Annahmen, um eine vereinfachte Präsentation zu ermöglichen. Hierbei folgen wir [2] Kapitel 14, wo die Annahme der globalen Hyperbolizität nicht gemacht wird, daher sollte es relativ einfach sein, aus unserer Darstellung auf diese allgemeine Version des Theorems zu schließen. Mit etwas Mühe sollte es ebenfalls nach [9] möglich sein, den hier präsentierten Beweis auf die Version des Theorems anzupassen, die
nur mit der globalen Hyperbolizität auskommt. Nach meinem Wissen wurde das bisher noch nicht rigoros ausgeführt. An dieser Stelle sollte erwähnt werden, dass der hier präsentierte Beweis bei seiner Publikation in [9] eine deutliche Vereinfachung darstellte. Die allgemeine Vorgehensweise ist dem Riemannschen Fall sehr ähnlich, jedoch ist der Einsatz von elliptischen und Maximumsprinzipmethoden viel subtiler. Man schränkt etwa oft gegebene Objekte auf eine geeignete raumartige (= Riemannsche) Hyperfläche ein
und arbeitet dort weiter. In diesem Kontext sei das fundamentale Existenzresultat von Bartnik [1] erwähnt, welches uns gerade solche geeigneten Hyperflächen liefert. Ein weiterer Unterschied zum Riemannschen Fall ist, dass man die Spaltung zuerst lokal beweist, und dann diese lokale Spaltung zu einer globalen ausdehnen muss.
Abstract (eng)
The aim of this thesis is a discussion of the splitting theorems that appear in Riemannian and Lorentzian geometry.
After an initial preparatory chapter where we collect various necessary background topics for convenience, we turn to the Cheeger-Gromoll Splitting Theorem from Riemannian geometry in Chapter 1. Instead of following the original proof [4] of Cheeger and Gromoll that relies heavily on exploiting the ellipticity of the Riemannian Laplace operator, we instead present the proof along the lines of [5]. This turns out to be a major simplification over [4] and it avoids much of the heavy use of elliptic operator methods, making it adaptable to the Lorentzian situation, where the Laplacian is not elliptic. The main tools that come into play are support functions and a generalized maximum principle due to Calabi.
In Chapter 2, which represents the bulk of this thesis, we turn to the
Lorentzian Splitting Theorem. It turns out that one can assume either
timelike geodesic completeness or global hyperbolicity of the spacetime, and the techniques involved in the proofs of these two variants of the theorem differ. We discuss the relevant literature where the proofs of these various versions of the theorem may be found. Afterwards, we turn to the proof of the splitting theorem, assuming both timelike geodesic completeness and global hyperbolicity for the sake of a simplified presentation. The exposition is given along the lines of [2] Chapter 14, where global hyperbolicity is not assumed, hence that generalization can be obtained quite easily. With some effort, it should also be possible to adapt this proof to the globally hyperbolic case (without the completeness assumption), as was outlined in the original publication [9] of this proof. To my knowledge, this has not
yet been worked out rigorously. It should be noted that this proof was a
major simplification over any of the proofs that were available up to then in the literature for the various versions of the theorem, the key new idea being the "generalized timelike co-ray condition". The main procedure is quite similar to that of the Riemannian Splitting Theorem (rays, lines, Busemann functions, level sets thereof, inequalities of distance functions, etc.), but the use of elliptic/maximum principle methods is much more subtle and can only be done upon reducing the given situation to a suitable spacelike (= Riemannian) hypersurface. In this context, a fundamental result due to Bartnik [1] on the existence of nice hypersurfaces given rough boundary data plays a crucial role. Another striking difference is that one initially only obtains a local splitting around the given line, and then that splitting has to be extended by standard methods to give the desired global splitting
of the entire spacetime.
Keywords (eng)
Differential geometryRiemannian geometryLorentzian geometryspacetimeBusemann functionsplitting theorem
Keywords (deu)
DifferentialgeometrieRiemanngeometrieLorentzgeometrieRaumzeitBusemannfunktionSpaltungstheorem
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1393385
rdau:P60550 (deu)
72 Seiten
Number of pages
118
Association (deu)
Title (eng)
Splitting theorems in Riemannian and Lorentzian geometry
Parallel title (deu)
Spaltungstheoreme in Riemann- und Lorentzgeometrie
Author
Argam Ohanyan
Abstract (deu)
Das Ziel dieser Arbeit ist eine Darstellung der Spaltungstheoreme, die in der Riemann- und Lorentzgeometrie von Relevanz sind.
Nach einem vorbereitenden Kapitel, in dem wir notwendiges Hintergrundmaterial sammeln, wenden wir uns in Kapitel 1 dem Cheeger-Gromoll Spaltungstheorem aus der Riemanngeometrie zu. Dabei orientieren wir uns nicht am Originalbeweis [4] von Cheeger und Gromoll, in dem ganz essenziell Methoden aus der Theorie der elliptischen Operatoren zum Einsatz kommen. Stattdessen präsentieren wir eine abgeänderte Variante des Beweises aus [5], was sich als starke Vereinfachung herausstellt und wo die Techniken aus der Theorie der elliptischen Operatoren keine so fundamentale Rolle spielen wie in [4]. Das ist der Hauptgrund, warum sich der Beweis auf den Lorentzschen Fall anpassen lässt, denn der Laplace-Operator in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit ist hyperbolisch. Die Haupttechniken, die in unserer Version des Beweises zum Einsatz kommen, sind Barrierefunktionen
und ein verallgemeinertes Maximumsprinzip von Calabi.
Kapitel 2 ist dem Lorentzschen Spaltungstheorem gewidmet und stellt den Hauptteil dieser Arbeit dar. Es zeigt sich, dass man im Rahmen dieses Theorems von der betrachteten Raumzeit entweder zeitartige geodätische Vollständigkeit oder globale Hyperbolizität annehmen kann. Dabei unterscheiden sich die Techniken, die in den Beweisen dieser beiden Versionen zum Einsatz kommen. In diesem Zusammenhang besprechen wir die relevante Fachliteratur. Danach widmen wir uns dem Beweis des Spaltungstheorem, machen aber beide der oben genannten Annahmen, um eine vereinfachte Präsentation zu ermöglichen. Hierbei folgen wir [2] Kapitel 14, wo die Annahme der globalen Hyperbolizität nicht gemacht wird, daher sollte es relativ einfach sein, aus unserer Darstellung auf diese allgemeine Version des Theorems zu schließen. Mit etwas Mühe sollte es ebenfalls nach [9] möglich sein, den hier präsentierten Beweis auf die Version des Theorems anzupassen, die
nur mit der globalen Hyperbolizität auskommt. Nach meinem Wissen wurde das bisher noch nicht rigoros ausgeführt. An dieser Stelle sollte erwähnt werden, dass der hier präsentierte Beweis bei seiner Publikation in [9] eine deutliche Vereinfachung darstellte. Die allgemeine Vorgehensweise ist dem Riemannschen Fall sehr ähnlich, jedoch ist der Einsatz von elliptischen und Maximumsprinzipmethoden viel subtiler. Man schränkt etwa oft gegebene Objekte auf eine geeignete raumartige (= Riemannsche) Hyperfläche ein
und arbeitet dort weiter. In diesem Kontext sei das fundamentale Existenzresultat von Bartnik [1] erwähnt, welches uns gerade solche geeigneten Hyperflächen liefert. Ein weiterer Unterschied zum Riemannschen Fall ist, dass man die Spaltung zuerst lokal beweist, und dann diese lokale Spaltung zu einer globalen ausdehnen muss.
Abstract (eng)
The aim of this thesis is a discussion of the splitting theorems that appear in Riemannian and Lorentzian geometry.
After an initial preparatory chapter where we collect various necessary background topics for convenience, we turn to the Cheeger-Gromoll Splitting Theorem from Riemannian geometry in Chapter 1. Instead of following the original proof [4] of Cheeger and Gromoll that relies heavily on exploiting the ellipticity of the Riemannian Laplace operator, we instead present the proof along the lines of [5]. This turns out to be a major simplification over [4] and it avoids much of the heavy use of elliptic operator methods, making it adaptable to the Lorentzian situation, where the Laplacian is not elliptic. The main tools that come into play are support functions and a generalized maximum principle due to Calabi.
In Chapter 2, which represents the bulk of this thesis, we turn to the
Lorentzian Splitting Theorem. It turns out that one can assume either
timelike geodesic completeness or global hyperbolicity of the spacetime, and the techniques involved in the proofs of these two variants of the theorem differ. We discuss the relevant literature where the proofs of these various versions of the theorem may be found. Afterwards, we turn to the proof of the splitting theorem, assuming both timelike geodesic completeness and global hyperbolicity for the sake of a simplified presentation. The exposition is given along the lines of [2] Chapter 14, where global hyperbolicity is not assumed, hence that generalization can be obtained quite easily. With some effort, it should also be possible to adapt this proof to the globally hyperbolic case (without the completeness assumption), as was outlined in the original publication [9] of this proof. To my knowledge, this has not
yet been worked out rigorously. It should be noted that this proof was a
major simplification over any of the proofs that were available up to then in the literature for the various versions of the theorem, the key new idea being the "generalized timelike co-ray condition". The main procedure is quite similar to that of the Riemannian Splitting Theorem (rays, lines, Busemann functions, level sets thereof, inequalities of distance functions, etc.), but the use of elliptic/maximum principle methods is much more subtle and can only be done upon reducing the given situation to a suitable spacelike (= Riemannian) hypersurface. In this context, a fundamental result due to Bartnik [1] on the existence of nice hypersurfaces given rough boundary data plays a crucial role. Another striking difference is that one initially only obtains a local splitting around the given line, and then that splitting has to be extended by standard methods to give the desired global splitting
of the entire spacetime.
Keywords (eng)
Differential geometryRiemannian geometryLorentzian geometryspacetimeBusemann functionsplitting theorem
Keywords (deu)
DifferentialgeometrieRiemanngeometrieLorentzgeometrieRaumzeitBusemannfunktionSpaltungstheorem
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
https://phaidra.univie.ac.at/o:1393386
Number of pages
118
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