Title (eng)
Optimal transport and mathematical finance through the lens of the adapted weak topology
Parallel title (deu)
Optimaler Transport und Finanzmathematik durch die Linse der adaptierten, schwachen Topologie
Author
Gudmund Pammer
Advisor
Julio Backhoff-Veraguas
Matthias Beiglböck
Assessor
Konstantin Kardaras
Nathael Gozlan
Abstract (deu)
In den letzten Jahren wurden mehrere neue Varianten des optimalen Transports (OT) eingeführt, wie z.B. optimaler schwacher Transport (WOT), optimaler Martingaltransport (MOT) und entropischer optimaler Transport, um nur einige zu nennen. Auch wenn all diese Variationen eng mit dem ursprünglichen Geist von OT verbunden sind, könnten die dahinterliegenden Motivationen nicht vielfältiger sein: Gozlan et al. initiieren das durch geometrische Ungleichungen motivierte Feld des optimalen schwachen Transports; Martingaltransport kann verwendet werden, um modellunabhängige Preise für Optionen in der Finanzmathematik zu erhalten; die entropische Regularisierung von OT gewann vor allem durch Cuturi an Zugkraft, der OT rechnerisch handhabbar machte.
In der klassischen Interpretation des OT gibt es eine initiale Massenverteilung und eine terminale Massenverteilung. Wenn der Massentransport von einem Punkt x zu einem anderen Punkt y mit gegebenen Kosten c(x,y) verbunden ist, dann besteht das Ziel darin, die initiale Massenverteilung mit minimalen Kosten zur terminalen zu befördern. Im Wesentlichen ist OT ein symmetrisches Problem in dem Sinne, dass der Massetransport in beide Richtungen gelesen werden kann. Aus dieser Perspektive weisen MOT und WOT einen wesentlichen Unterschied zu OT auf, da sie Asymmetrien enthalten, indem sie Koordinaten unterschiedlich behandeln. Aus dieser Asymmetrie ergibt sich die Notwendigkeit der Einführung passender, neuer Instrumente zur Untersuchung von MOT und WOT. Aus diesem Grund kann ein Perspektivenwechsel fruchtbar sein: Ein anderer Blickwinkel auf zulässige Transportpläne ist jene, sie als die Verteilung von stochastischen 1-Zeitschritt-Prozessen (X,Y) mit gegebenen Randverteilungen zu sehen. Stochastische Prozesse sind aufgrund der Rolle von Zeit und Information, welche in ihrer Filtration kodiert ist, inhärent asymmetrisch.
Die schwache Topologie ist die Go-To-Topologie im OT-Setup, welche aber versäumt, die eingeführten Asymmetrien von WOT und MOT zu berücksichtigen. Ein vielversprechender Kandidat (insbesondere unter dem Gesichtspunkt von stochastischen Prozessen) ist die so genannte adaptierte schwache Topologie, die zusätzlich zu einer temporalen Struktur die wichtigsten Merkmale der schwachen Topologie aufweist.
Das Dissertationsprojekt zielt darauf ab, Fragen, die sich aus der Theorie des optimalen Transports und der Finanzmathematik ergeben, durch die Linse der adaptierten schwachen Topologie zu untersuchen. Dies ermöglicht es uns, die elementaren Grundlagen von OT auch für WOT wiederzuerlangen, wie die Existenz von Optimierern, Dualität und eine geometrische Beschreibung von Optimierern. Außerdem stellt es geeignete Instrumente zur Verfügung, um die bisher offene Frage der Stabilität von MOT zu lösen, die auch aus finanzmathematischer Sicht von großer Relevanz ist. Dieses Sichtweise trägt auch Früchte in modelindependent finance, wo es Anwendung findet, um robuste Sub- und Super-Hedging-Preise in einem Markt für festverzinsliche Wertpapiere herzuleiten und um extremale Modelle zu identifizieren.
Abstract (eng)
In recent years multiple novel variants of optimal transport (OT) were introduced such as weak optimal transport (WOT), martingale optimal transport (MOT), and entropic optimal transport to name but a few. Even though all of these variations are tightly connected to the original spirit of OT, the motivation behind them could not be more diverse: Gozlan et al. initiate the field of weak optimal transport motivated by geometric inequalities; martingale optimal transport can be used to obtain model-independent prices for options in mathematical finance; the entropic regularization of OT gained traction most notably due to Cuturi who made OT computationally tractable.
In the classical interpretation of OT, there is an initial mass distribution and a terminal mass distribution. If transporting mass from one point x to another point y has a given fixed cost c(x,y), then the aim is to move all mass from the initial to the terminal distribution under minimal cost. OT is an essentially symmetric problem in the sense that mass transport can be interpreted both ways. From this perspective, MOT and WOT exhibit a substantial difference to OT as they incorporate asymmetries by treating coordinates disparately. This asymmetry leads to the necessity of introducing fitting, new tools for studying MOT and WOT. For this reason, a change of perspective can be fruitful: A different view on admissible transport plans is to interpret them as the law of 1-timestep stochastic processes (X,Y) with given marginal distributions. Stochastic processes are intrinsically asymmetric due to the role of time and information encoded in their filtrations.
The weak topology is the go-to topology in the OT setup but fails for acknowledging the introduced asymmetries of WOT and MOT. A promising candidate (particularly in the light of the stochastic process point of view) is the so-called adapted weak topology, which embraces the most important features of the weak topology in addition to a temporal structure.
My PhD project aims to investigate questions arising from the theory of optimal transport and mathematical finance through the lens of the adapted weak topology. This enables us to recover the basic fundaments of OT for WOT like the existence of optimizers, duality, and a geometric description of optimizers. It provides adequate tools to tackle the hitherto open question of stability in MOT which is also of great relevance from a mathematical finance perspective. This understanding also bears fruit in model-independent finance, where it is used to obtain robust sub- and superhedging prices in fixed income markets, and to identify extremal models.
Keywords (eng)
Optimal transportweak optimal transportmartingale optimal transportmathematical financestability
Keywords (deu)
Optimaler Transportschwacher optimaler TransportMartingaltransportFinanzmathematikStabilität
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
1 Band (verschiedene Seitenzählungen)
Number of pages
652
Study plan
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
[UA]
[796]
[605]
[405]
Association (deu)
Title (eng)
Optimal transport and mathematical finance through the lens of the adapted weak topology
Parallel title (deu)
Optimaler Transport und Finanzmathematik durch die Linse der adaptierten, schwachen Topologie
Author
Gudmund Pammer
Abstract (deu)
In den letzten Jahren wurden mehrere neue Varianten des optimalen Transports (OT) eingeführt, wie z.B. optimaler schwacher Transport (WOT), optimaler Martingaltransport (MOT) und entropischer optimaler Transport, um nur einige zu nennen. Auch wenn all diese Variationen eng mit dem ursprünglichen Geist von OT verbunden sind, könnten die dahinterliegenden Motivationen nicht vielfältiger sein: Gozlan et al. initiieren das durch geometrische Ungleichungen motivierte Feld des optimalen schwachen Transports; Martingaltransport kann verwendet werden, um modellunabhängige Preise für Optionen in der Finanzmathematik zu erhalten; die entropische Regularisierung von OT gewann vor allem durch Cuturi an Zugkraft, der OT rechnerisch handhabbar machte.
In der klassischen Interpretation des OT gibt es eine initiale Massenverteilung und eine terminale Massenverteilung. Wenn der Massentransport von einem Punkt x zu einem anderen Punkt y mit gegebenen Kosten c(x,y) verbunden ist, dann besteht das Ziel darin, die initiale Massenverteilung mit minimalen Kosten zur terminalen zu befördern. Im Wesentlichen ist OT ein symmetrisches Problem in dem Sinne, dass der Massetransport in beide Richtungen gelesen werden kann. Aus dieser Perspektive weisen MOT und WOT einen wesentlichen Unterschied zu OT auf, da sie Asymmetrien enthalten, indem sie Koordinaten unterschiedlich behandeln. Aus dieser Asymmetrie ergibt sich die Notwendigkeit der Einführung passender, neuer Instrumente zur Untersuchung von MOT und WOT. Aus diesem Grund kann ein Perspektivenwechsel fruchtbar sein: Ein anderer Blickwinkel auf zulässige Transportpläne ist jene, sie als die Verteilung von stochastischen 1-Zeitschritt-Prozessen (X,Y) mit gegebenen Randverteilungen zu sehen. Stochastische Prozesse sind aufgrund der Rolle von Zeit und Information, welche in ihrer Filtration kodiert ist, inhärent asymmetrisch.
Die schwache Topologie ist die Go-To-Topologie im OT-Setup, welche aber versäumt, die eingeführten Asymmetrien von WOT und MOT zu berücksichtigen. Ein vielversprechender Kandidat (insbesondere unter dem Gesichtspunkt von stochastischen Prozessen) ist die so genannte adaptierte schwache Topologie, die zusätzlich zu einer temporalen Struktur die wichtigsten Merkmale der schwachen Topologie aufweist.
Das Dissertationsprojekt zielt darauf ab, Fragen, die sich aus der Theorie des optimalen Transports und der Finanzmathematik ergeben, durch die Linse der adaptierten schwachen Topologie zu untersuchen. Dies ermöglicht es uns, die elementaren Grundlagen von OT auch für WOT wiederzuerlangen, wie die Existenz von Optimierern, Dualität und eine geometrische Beschreibung von Optimierern. Außerdem stellt es geeignete Instrumente zur Verfügung, um die bisher offene Frage der Stabilität von MOT zu lösen, die auch aus finanzmathematischer Sicht von großer Relevanz ist. Dieses Sichtweise trägt auch Früchte in modelindependent finance, wo es Anwendung findet, um robuste Sub- und Super-Hedging-Preise in einem Markt für festverzinsliche Wertpapiere herzuleiten und um extremale Modelle zu identifizieren.
Abstract (eng)
In recent years multiple novel variants of optimal transport (OT) were introduced such as weak optimal transport (WOT), martingale optimal transport (MOT), and entropic optimal transport to name but a few. Even though all of these variations are tightly connected to the original spirit of OT, the motivation behind them could not be more diverse: Gozlan et al. initiate the field of weak optimal transport motivated by geometric inequalities; martingale optimal transport can be used to obtain model-independent prices for options in mathematical finance; the entropic regularization of OT gained traction most notably due to Cuturi who made OT computationally tractable.
In the classical interpretation of OT, there is an initial mass distribution and a terminal mass distribution. If transporting mass from one point x to another point y has a given fixed cost c(x,y), then the aim is to move all mass from the initial to the terminal distribution under minimal cost. OT is an essentially symmetric problem in the sense that mass transport can be interpreted both ways. From this perspective, MOT and WOT exhibit a substantial difference to OT as they incorporate asymmetries by treating coordinates disparately. This asymmetry leads to the necessity of introducing fitting, new tools for studying MOT and WOT. For this reason, a change of perspective can be fruitful: A different view on admissible transport plans is to interpret them as the law of 1-timestep stochastic processes (X,Y) with given marginal distributions. Stochastic processes are intrinsically asymmetric due to the role of time and information encoded in their filtrations.
The weak topology is the go-to topology in the OT setup but fails for acknowledging the introduced asymmetries of WOT and MOT. A promising candidate (particularly in the light of the stochastic process point of view) is the so-called adapted weak topology, which embraces the most important features of the weak topology in addition to a temporal structure.
My PhD project aims to investigate questions arising from the theory of optimal transport and mathematical finance through the lens of the adapted weak topology. This enables us to recover the basic fundaments of OT for WOT like the existence of optimizers, duality, and a geometric description of optimizers. It provides adequate tools to tackle the hitherto open question of stability in MOT which is also of great relevance from a mathematical finance perspective. This understanding also bears fruit in model-independent finance, where it is used to obtain robust sub- and superhedging prices in fixed income markets, and to identify extremal models.
Keywords (eng)
Optimal transportweak optimal transportmartingale optimal transportmathematical financestability
Keywords (deu)
Optimaler Transportschwacher optimaler TransportMartingaltransportFinanzmathematikStabilität
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
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652
Association (deu)
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