Diese Masterarbeit behandelt einige wichtige Resultate aus der Forschung an einem offenen Problem der Modelltheorie, bekannt als Vaughts Vermutung, abgekürzt mit VC für Vaught's Conjecture. VC wurde erstmals im Jahr 1959 formuliert. In ihrer ursprünglichen Form besagt sie, dass eine vollständige Theorie der Prädikatenlogik, die ein abzählbares Vokabular verwendet, entweder höchstens abzählbar viele Isomorphietypen von abzählbaren Modellen hat oder andernfalls Kontinuum viele. Es werden im Lauf der Arbeit Verallgemeinerungen von VC vorgestellt. Die Arbeit ist in 6 Abschnitte unterteilt: Nach einem kurzem geschichtlichen Hintergrund und einer Motivation in Sektion 1 wenden wir uns in Sektion 2 infinitären Sprachen zu. Es werden unter anderem die Begriffe Consistency property, Scott Rang, infinitäre Äquivalenz und End extension eingeführt und untersucht. Die wichtigsten und später benötigten Ergebnisse in diesem Abschnitt sind Scott's Isomorphismus Theorem, das Omitting Types Theorem, das Model Existence Theorem sowie ein hinreichendes Kriterium um festzustellen, ob ein infinitärer Satz ein überabzählbares Modell hat, das nur abzählbar viele Typen realisiert. Im dritten Abschnitt wird gezeigt, wie abzählbare Modelle als Elemente eines Polnischen Raumes kodiert werden können. Der Begriff scattered sentence wird eingeführt und charakterisiert. Weiters werden zwei verschiedene Beweise eines Theorems von Morley zur Anzahl der abzählbaren Isomorphietypen eines infinitären Satzes präsentiert. Sektion 4 behandelt 3 wesentliche Resultate: 1. Ein Theorem von Harnik und Makkai, welches besagt, dass jedes Gegenbeispiel zu VC ein Modell der Kardinalität $\aleph_1$ hat, das nicht infinitär äquivalent zu einem abzählbaren Modell ist. 2. Ein modelltheoretischer Beweis eines Theorems von Hjorth, welches besagt, dass wenn VC falsch ist, dann gibt es ein Gegenbeispiel, das nur Modelle der Kardinalität $\aleph_0$ und $\aleph_1$ hat. 3. Ein Theorem von Harrington, welches besagt, dass die Scott Ränge von Modellen eines VC Gegenbeispiels unbeschränkt unter $\aleph_2$ sind. Im fünften Abschnitt wird gezeigt, dass es für einen Beweis von VC ausreicht, nur Theorien (infinitäre Sätze) zu betrachten, die in der Sprache von Graphen oder Verbänden formuliert sind. In Sektion 6 betrachten wir Zusammenhänge zwischen Modelltheorie und deskriptiver Mengentheorie. Es wird der ursprüngliche Beweis von Hjorths Theorem vorgestellt, das schon im 4. Abschnitt studiert wurde. Dann wenden wir uns der allgemeineren topologischen Vaught Vermutung zu - abgekürzt mit TVC für Topological Vaught Conjecture - und zeigen, dass VC für infinitäre Sätze äquivalent ist zu sowohl der topologischen Vaught Vermutung für die unendliche symmetrische Gruppe als auch zu TVC für die Homöomorphismengruppe des Cantor-Raumes. Schließlich wird gezeigt, dass die allgemeine TVC äquivalent ist zu TVC für die Homöomorphismengruppe des Hilbertwürfels.

This thesis is a short survey of some major results concerning an open problem of model theory known as Vaught's conjecture (VC). In its original form VC states that the number of isomorphism types of contable models of a complete first order theory in a countable vocabulary is either at most $\aleph_0$ or else the cardinality of the continuum. After providing a short historical background and a motivation in section 1, we introduce the infinitary language which allows countable conjunctions of formulas and finite blocks of quantifiers in section 2. We define the quantifier rank of a formula, the notion of infinitary equivalence and study consistency properties as well as end extensions. The most important results in this section are Scott's Isomorphism Theorem, the Omitting Types Theorem, the Model Existence Theorem and a sufficient criterion in order to determine if an infinitary sentence has a small uncountable model. In section 3 we show how countable models can be coded as elements of standard Borel spaces. We define the notion of a scattered infinitary sentence and present a characterisation of it. Two different proofs of a result by Morley are presented regarding the number of isomorphism types of countable models of an infinitary sentence. Section 4 focuses on three major results: 1. A theorem by Harnik and Makkai stating that every counter example to VC has a model of cardinality $\aleph_1$ which is not infinitarily equivalent to any countable model. 2. A model theoretic proof of a theorem by Hjorth which states that if VC is false, then there is a counterexample which has only models of cardinality $\aleph_0$ or $\aleph_1$. 3. A theorem by Harrington stating that the Scott ranks of models of a VC counterexample are unbounded below $\aleph_2$. In section 5 we show that it is enough to prove VC for theories (or infinitary sentences) in the language of graphs or bounded lattices. In section 6 we see how results of descriptive set theory are used to study model theoretic questions. We present Hjorth's original proof of his theorem which was already discussed in section 4. Then we move on to the more general problem of the topological Vaught conjecture (TVC) and show that VC for infinitary sentences is equivalent to the topological Vaught conjecture for the infinite symmetric group, as well as to TVC for the homeomorphism group of the Cantor space. Finally, we present the proof that the general topological Vaught conjecture is equivalent to TVC for the homeomorphism group of the Hilbert cube.