Title (eng)
Continuity of phase transition for Bernoulli percolation on generalized slabs
Parallel title (deu)
Stetigkeit des Phasenübergangs für Bernoulli-Perkolation auf verallgemeinerten Platten
Author
Moritz Dober
Advisor
Marcin Lis
Assessor
Marcin Lis
Abstract (deu)
Duminil-Copin, Sidoravicius und Tassion (2014) haben gezeigt, dass der Phasenübergang für Bernoulli-Kantenperkolation auf einer Platte $\mathbb{Z}^2\times\{0,\dots,k\}$ ($k\geq 0$) stetig verläuft, was bedeutet, dass bei der kritischen Dichte fast sicher kein unendlicher Cluster existiert und merkten an, dass die Techniken genauso gut für jeden Graphen der Form $\mathbb{Z}^2\times G$ funktionieren würden, wobei $G$ endlich ist. Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Beweis in besagtem allgemeinen Umstand auszuarbeiten und Rechtfertigung für die dazu verwendeten Resultate in den einleitenden Abschnitten zu liefern.
In der Einleitung und in Kapitel 2 geben wir eine kurze Einführung zu Bernoulli-Kantenperkolationsmodellen auf allgemeinen Graphen, erwähnen grundlegende Eigenschaften von Perkolationsverteilungen und beweisen die folgenden zwei Tatsachen. Unter der Verwendung der Argumente von Burton und Keane (1989) zeigen wir die (fast sichere)
Eindeutigkeit eines unendlichen Clusters in der superkritischen Phase für zusammenhängende, quasitransitive Graphen von subexponentiellem Wachstum. Anschließend verifizieren wir, dass $k$-abhängige Modelle auf dem quadratischen Gitter $\mathbb{Z}^2$ perkolieren, wenn jede Kante mit einer Wahrscheinlichkeit von zumindest einem gewissen $p_c(k)<1$ offen ist, anhand eines Peierls Arguments, das den dualen Graphen involviert.
Kapitel 3 besteht aus dem Beweis des Hauptsatzes aufgeteilt in drei Abschnitte und einem anschließenden Korollar bezüglich der Klebetechnik darin.
Abstract (eng)
Duminil-Copin, Sidoravicius and Tassion (2014) proved that the phase transition for Bernoulli bond percolation on a slab $\mathbb{Z}^2\times\{0,\dots,k\}$ ($k\geq 0$) proceeds continuously, which is to say that there exists almost surely no infinite cluster at the critical density, and remarked that the techniques would work equally well for any graph of the form $\mathbb{Z}^2\times G$, where $G$ is finite. The aspiration of this thesis is to carry out the proof in said general setup and provide justification for the required results in the preliminary sections.
In the introduction and Chapter 2, we briefly introduce Bernoulli bond percolation models on arbitrary graphs, state basic properties of percolation laws and prove the following two facts. Using the arguments of Burton and Keane (1989), we show (almost sure) uniqueness of an infinite cluster in the supercritical phase for connected quasi-transitive graphs of subexponential growth. Subsequently, we verify that $k$-dependent models on the square lattice $\mathbb{Z}^2$ percolate if each edge is open with probability at least some $p_c(k)<1$, by means of a Peierls argument involving the dual graph.
Chapter 3 consists of the proof of the main theorem divided into three steps and a subsequent corollary of the gluing technique therein.
Keywords (eng)
percolationphase transitionslabs
Keywords (deu)
PerkolationPhasenübergangPlatten
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
34 Seiten : Diagramme
Number of pages
38
Study plan
Masterstudium Mathematik
[UA]
[066]
[821]
Association (deu)
Title (eng)
Continuity of phase transition for Bernoulli percolation on generalized slabs
Parallel title (deu)
Stetigkeit des Phasenübergangs für Bernoulli-Perkolation auf verallgemeinerten Platten
Author
Moritz Dober
Abstract (deu)
Duminil-Copin, Sidoravicius und Tassion (2014) haben gezeigt, dass der Phasenübergang für Bernoulli-Kantenperkolation auf einer Platte $\mathbb{Z}^2\times\{0,\dots,k\}$ ($k\geq 0$) stetig verläuft, was bedeutet, dass bei der kritischen Dichte fast sicher kein unendlicher Cluster existiert und merkten an, dass die Techniken genauso gut für jeden Graphen der Form $\mathbb{Z}^2\times G$ funktionieren würden, wobei $G$ endlich ist. Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Beweis in besagtem allgemeinen Umstand auszuarbeiten und Rechtfertigung für die dazu verwendeten Resultate in den einleitenden Abschnitten zu liefern.
In der Einleitung und in Kapitel 2 geben wir eine kurze Einführung zu Bernoulli-Kantenperkolationsmodellen auf allgemeinen Graphen, erwähnen grundlegende Eigenschaften von Perkolationsverteilungen und beweisen die folgenden zwei Tatsachen. Unter der Verwendung der Argumente von Burton und Keane (1989) zeigen wir die (fast sichere)
Eindeutigkeit eines unendlichen Clusters in der superkritischen Phase für zusammenhängende, quasitransitive Graphen von subexponentiellem Wachstum. Anschließend verifizieren wir, dass $k$-abhängige Modelle auf dem quadratischen Gitter $\mathbb{Z}^2$ perkolieren, wenn jede Kante mit einer Wahrscheinlichkeit von zumindest einem gewissen $p_c(k)<1$ offen ist, anhand eines Peierls Arguments, das den dualen Graphen involviert.
Kapitel 3 besteht aus dem Beweis des Hauptsatzes aufgeteilt in drei Abschnitte und einem anschließenden Korollar bezüglich der Klebetechnik darin.
Abstract (eng)
Duminil-Copin, Sidoravicius and Tassion (2014) proved that the phase transition for Bernoulli bond percolation on a slab $\mathbb{Z}^2\times\{0,\dots,k\}$ ($k\geq 0$) proceeds continuously, which is to say that there exists almost surely no infinite cluster at the critical density, and remarked that the techniques would work equally well for any graph of the form $\mathbb{Z}^2\times G$, where $G$ is finite. The aspiration of this thesis is to carry out the proof in said general setup and provide justification for the required results in the preliminary sections.
In the introduction and Chapter 2, we briefly introduce Bernoulli bond percolation models on arbitrary graphs, state basic properties of percolation laws and prove the following two facts. Using the arguments of Burton and Keane (1989), we show (almost sure) uniqueness of an infinite cluster in the supercritical phase for connected quasi-transitive graphs of subexponential growth. Subsequently, we verify that $k$-dependent models on the square lattice $\mathbb{Z}^2$ percolate if each edge is open with probability at least some $p_c(k)<1$, by means of a Peierls argument involving the dual graph.
Chapter 3 consists of the proof of the main theorem divided into three steps and a subsequent corollary of the gluing technique therein.
Keywords (eng)
percolationphase transitionslabs
Keywords (deu)
PerkolationPhasenübergangPlatten
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Number of pages
38
Association (deu)
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