Title (eng)
Space-time finite element methods
Parallel title (deu)
Raum-Zeit finite Elemente Methoden
Author
Paul Stocker
Advisor
Perugia Ilaria
Assessor
Lehel Banjai
Hélène Barucq
Abstract (deu)
Space-time finite element methods approximate solutions of time dependent partial differential equations (PDEs) with a discrete set of functions that live on a mesh of space and time.
They allow for space-time adaptive meshing and are naturally high-order methods. However, compared to time-stepping methods, they are inherently expensive due to time being treated as an additional dimension of the mesh and of the approximation spaces.
In the literature space-time methods for linear hyperbolic and parabolic problems are well studied.
However, much less work has been devoted to nonlinear equations.
In this thesis, we explore ways to improve the efficiency of space-time finite element methods for the wave equation using Trefftz methods combined with tent-pitching.
Then, we introduce a novel space-time method for a class of nonlinear parabolic PDEs known as cross-diffusion systems.
Trefftz methods are high-order Galerkin schemes in which all discrete functions are elementwise solution of the PDE to be approximated.
We present a space-time Trefftz discontinuous Galerkin (DG) method for approximating the acoustic wave equation semi-explicitly on tent pitched meshes.
Tent pitched meshes are meshes that comply with the causality property of the PDE. They allow to solve the equation elementwise, allowing locally optimal advances in time.
Trefftz methods are only viable when the PDE is linear and its coefficients are piecewise constant.
For the discretisation of the acoustic wave equation with piecewise smooth wavespeed, we introduce a 'quasi-Trefftz' discontinuous Galerkin method, where the discrete functions are elementwise approximate PDE solutions.
We show that the new discretisation possesses the same good approximation properties as the classical Trefftz one, and prove stability and high-order convergence of the DG scheme.
We introduce polynomial basis functions for the new discrete spaces and describe a simple algorithm to compute them.
Cross-diffusion systems are systems of nonlinear parabolic PDEs that are used to describe dynamical processes in several application, including chemical concentrations and cell biology.
We present a space-time approach to the proof of existence of bounded weak solutions of cross-diffusion systems, making use of the system entropy to study long-term behavior and to show nonnegativity of the solution, even when a maximum principle is not available.
This approach naturally gives rise to a novel space-time Galerkin method for the numerical approximation of cross-diffusion systems that conserves their entropy structure.
We prove existence and convergence of the discrete solutions, and present numerical results for the porous medium, the Fisher-KPP, and the Maxwell-Stefan problem.
All these methods have been implemented in Netgen/NGSolve. The source code is available online at github.com/PaulSt.
Abstract (eng)
Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden approximieren Lösungen von zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen (PDE) mithilfe einer diskreten Menge an Funktionen, die über einem Netz von Raum und Zeit konstruiert werden. Die Methoden ermöglichen adaptive Raum-Zeit-Netze und sind naturgemäß von hoher Konvergenzordnung. Verglichen mit Zeitschrittverfahren sind sie jedoch aufwändiger, da Zeit als eine weitere Dimension des Netzes und der Approximationsräume behandelt wird. Lineare hyperbolische und parabolische Probleme sind in der Literatur bereits umfangreich behandelt. Nicht-lineare Gleichungen wurden in dieser Hinsicht bisher kaum besprochen.
In dieser Arbeit werden Möglichkeiten zur Effizienzsteigerung von Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden besprochen, unter Verwendung von Trefftz Methoden und in Kombination mit zeltförmigen Netzen. Weiters wird eine neue Raum-Zeit-Methode für eine bestimmte Klasse an nicht-linearen parabolischen PDEs, bekannt als Kreuz-Diffusionssysteme, vorgestellt.
Trefftz-Methoden sind Galerkin-Methoden hoher Konvergenzordnung, in denen alle diskreten Funktionen auf jedem Element des Netzes bereits eine Lösung der betrachteten PDE sind. Zur Approximation der akustische Wellengleichung präsentieren wir eine Raum-Zeit Trefftz unstetige Galerkin-Methode (DG), die sich auf zeltförmigen Netzen explizit lösen lässt. Zeltförmige Netze unterteilen das Raum-Zeit-Gebiet in zeltförmige Elemente, welche die Kausalität der PDE berücksichtigen. Sie erlauben die numerische Lösung elementweise zu berechnen, mit lokal optimalem Fortschritt in der Zeit. Trefftz-Methoden sind ausschließlich auf lineare PDEs mit stückweise konstanten Koeffizienten anwendbar.
Um die Trefftz-DG-Methode auf die akustische Wellengleichung mit stückweise stetigem Koeffizienten zu erweitern, stellen wir eine „quasi-Trefftz“-Methode vor, in der die diskreten Funktionen elementweise Approximationen der PDE Lösungen sind. Wir zeigen, dass die neue Diskretisierung die gleichen guten Approximationseigenschaften der klassischen Trefftz-Methode hat und Stabilität und Konvergenz von hoher Ordnung aufweist. Weiters konstruieren wir polynomiale Basisfunktionen für die Diskretisierung anhand eines simplen Algorithmus.
Kreuz-Diffusionssysteme sind Systeme von nichtlinearen parabolischen PDEs, welche die Entwicklung von Dichten oder Konzentrationen in Mehrkomponentensystemen beschreiben. Wir präsentieren eine Raum-Zeit Variante des Beweises der Existenz von beschränkten schwachen Lösungen, in dem wir die Entropie des Systems benutzen, um das Langzeitverhalten der Lösungen zu untersuchen, und zeigen darüber hinaus, dass sie nichtnegativ ist, auch wenn das Maximumprinzip nicht anwendbar ist. Diese Herangehensweise führt auf natürliche Art zu einer neuen Raum-Zeit Galerkin Methode zur Diskretisierung von Kreuz-Diffusionssystemen, welche die Entropie-Struktur des Systems erhält. Wir zeigen Existenz und Konvergenz der diskreten Lösung und präsentieren numerische Resultate für die poröse Medium-Gleichung, die Fisher-KPP-Gleichung und das Maxwell-Stefan-Problem.
Alle diese Methoden wurden in Netgen/NGSolve implementiert. Der Code ist online verfügbar unter github.com/PaulSt.
Keywords (eng)
space-time Galerkin methodspace-time finite elementsdiscontinuous Galerkin methodTrefftz methodquasi-Trefftz methodwave equationtent pitched meshentropy methodparabolic cross-diffusion systems
Keywords (deu)
Raum-Zeit Galerkin MethodeRaum-Zeit Finite-Elementeunstetige Galerkin MethodeTrefftz-Methodequasi-Trefftz-MethodeWellengleichungzeltförmigen NetzeEntropie-MethodeKreuz-Diffusionssysteme
Subject (deu)
Subject (deu)
Subject (deu)
Type (deu)
Persistent identifier
Extent (deu)
x, 77 Seiten $$b Illustrationen
Number of pages
108
Study plan
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
[UA]
[796]
[605]
[405]
Association (deu)
Title (eng)
Space-time finite element methods
Parallel title (deu)
Raum-Zeit finite Elemente Methoden
Author
Paul Stocker
Abstract (deu)
Space-time finite element methods approximate solutions of time dependent partial differential equations (PDEs) with a discrete set of functions that live on a mesh of space and time.
They allow for space-time adaptive meshing and are naturally high-order methods. However, compared to time-stepping methods, they are inherently expensive due to time being treated as an additional dimension of the mesh and of the approximation spaces.
In the literature space-time methods for linear hyperbolic and parabolic problems are well studied.
However, much less work has been devoted to nonlinear equations.
In this thesis, we explore ways to improve the efficiency of space-time finite element methods for the wave equation using Trefftz methods combined with tent-pitching.
Then, we introduce a novel space-time method for a class of nonlinear parabolic PDEs known as cross-diffusion systems.
Trefftz methods are high-order Galerkin schemes in which all discrete functions are elementwise solution of the PDE to be approximated.
We present a space-time Trefftz discontinuous Galerkin (DG) method for approximating the acoustic wave equation semi-explicitly on tent pitched meshes.
Tent pitched meshes are meshes that comply with the causality property of the PDE. They allow to solve the equation elementwise, allowing locally optimal advances in time.
Trefftz methods are only viable when the PDE is linear and its coefficients are piecewise constant.
For the discretisation of the acoustic wave equation with piecewise smooth wavespeed, we introduce a 'quasi-Trefftz' discontinuous Galerkin method, where the discrete functions are elementwise approximate PDE solutions.
We show that the new discretisation possesses the same good approximation properties as the classical Trefftz one, and prove stability and high-order convergence of the DG scheme.
We introduce polynomial basis functions for the new discrete spaces and describe a simple algorithm to compute them.
Cross-diffusion systems are systems of nonlinear parabolic PDEs that are used to describe dynamical processes in several application, including chemical concentrations and cell biology.
We present a space-time approach to the proof of existence of bounded weak solutions of cross-diffusion systems, making use of the system entropy to study long-term behavior and to show nonnegativity of the solution, even when a maximum principle is not available.
This approach naturally gives rise to a novel space-time Galerkin method for the numerical approximation of cross-diffusion systems that conserves their entropy structure.
We prove existence and convergence of the discrete solutions, and present numerical results for the porous medium, the Fisher-KPP, and the Maxwell-Stefan problem.
All these methods have been implemented in Netgen/NGSolve. The source code is available online at github.com/PaulSt.
Abstract (eng)
Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden approximieren Lösungen von zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen (PDE) mithilfe einer diskreten Menge an Funktionen, die über einem Netz von Raum und Zeit konstruiert werden. Die Methoden ermöglichen adaptive Raum-Zeit-Netze und sind naturgemäß von hoher Konvergenzordnung. Verglichen mit Zeitschrittverfahren sind sie jedoch aufwändiger, da Zeit als eine weitere Dimension des Netzes und der Approximationsräume behandelt wird. Lineare hyperbolische und parabolische Probleme sind in der Literatur bereits umfangreich behandelt. Nicht-lineare Gleichungen wurden in dieser Hinsicht bisher kaum besprochen.
In dieser Arbeit werden Möglichkeiten zur Effizienzsteigerung von Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden besprochen, unter Verwendung von Trefftz Methoden und in Kombination mit zeltförmigen Netzen. Weiters wird eine neue Raum-Zeit-Methode für eine bestimmte Klasse an nicht-linearen parabolischen PDEs, bekannt als Kreuz-Diffusionssysteme, vorgestellt.
Trefftz-Methoden sind Galerkin-Methoden hoher Konvergenzordnung, in denen alle diskreten Funktionen auf jedem Element des Netzes bereits eine Lösung der betrachteten PDE sind. Zur Approximation der akustische Wellengleichung präsentieren wir eine Raum-Zeit Trefftz unstetige Galerkin-Methode (DG), die sich auf zeltförmigen Netzen explizit lösen lässt. Zeltförmige Netze unterteilen das Raum-Zeit-Gebiet in zeltförmige Elemente, welche die Kausalität der PDE berücksichtigen. Sie erlauben die numerische Lösung elementweise zu berechnen, mit lokal optimalem Fortschritt in der Zeit. Trefftz-Methoden sind ausschließlich auf lineare PDEs mit stückweise konstanten Koeffizienten anwendbar.
Um die Trefftz-DG-Methode auf die akustische Wellengleichung mit stückweise stetigem Koeffizienten zu erweitern, stellen wir eine „quasi-Trefftz“-Methode vor, in der die diskreten Funktionen elementweise Approximationen der PDE Lösungen sind. Wir zeigen, dass die neue Diskretisierung die gleichen guten Approximationseigenschaften der klassischen Trefftz-Methode hat und Stabilität und Konvergenz von hoher Ordnung aufweist. Weiters konstruieren wir polynomiale Basisfunktionen für die Diskretisierung anhand eines simplen Algorithmus.
Kreuz-Diffusionssysteme sind Systeme von nichtlinearen parabolischen PDEs, welche die Entwicklung von Dichten oder Konzentrationen in Mehrkomponentensystemen beschreiben. Wir präsentieren eine Raum-Zeit Variante des Beweises der Existenz von beschränkten schwachen Lösungen, in dem wir die Entropie des Systems benutzen, um das Langzeitverhalten der Lösungen zu untersuchen, und zeigen darüber hinaus, dass sie nichtnegativ ist, auch wenn das Maximumprinzip nicht anwendbar ist. Diese Herangehensweise führt auf natürliche Art zu einer neuen Raum-Zeit Galerkin Methode zur Diskretisierung von Kreuz-Diffusionssystemen, welche die Entropie-Struktur des Systems erhält. Wir zeigen Existenz und Konvergenz der diskreten Lösung und präsentieren numerische Resultate für die poröse Medium-Gleichung, die Fisher-KPP-Gleichung und das Maxwell-Stefan-Problem.
Alle diese Methoden wurden in Netgen/NGSolve implementiert. Der Code ist online verfügbar unter github.com/PaulSt.
Keywords (eng)
space-time Galerkin methodspace-time finite elementsdiscontinuous Galerkin methodTrefftz methodquasi-Trefftz methodwave equationtent pitched meshentropy methodparabolic cross-diffusion systems
Keywords (deu)
Raum-Zeit Galerkin MethodeRaum-Zeit Finite-Elementeunstetige Galerkin MethodeTrefftz-Methodequasi-Trefftz-MethodeWellengleichungzeltförmigen NetzeEntropie-MethodeKreuz-Diffusionssysteme
Subject (deu)
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