Diese Masterarbeit liefert eine (geometrische) Formel um den Randindex eines isolierten, saturierten Gleichgewichts eines Vektorfeldes in der Ebene zu bestimmen. Es wird angenommen, dass der nicht-negative Quadrant (oder andere Zustandsräume, z.B., der Wahrscheinlichkeits-Simplex) forwärts invariant belassen wird und das Gleichgewicht Teil des Randes des nicht-negativen Quadranten ist. Zu Beginn wird die Theorie des Abbildungsgrades von Brouwer verwendet um das generelle Konzept des Index eines Gleichgewichtes einzuführen. Als nächstes legen wir den Fokus auf biologische Systeme und den Randindex, insbesondere werden wir das Randindex-Theorem von Hofbauer am Simplex beweisen. Das erste Kapitel wird vervollständigt mit einer Untersuchung von Vektorfeldern in der Ebene und dem Konzept der Rotation, die wie sich zeigt äquivalent zum Abbildungsgrad ist. Im zweiten Kapitel beweisen wir ein Analogon zur Indexformel von Bendixson für den Randindex eines isolierten, saturierten Gleichgewichts in der Ebene. Wir setzen fort mit einer oberflächlichen Betrachtung homogener Vektorfelder in der Ebene und beschließen mit einer Randindex-Formel für nicht degenerierte Systeme.

This Master’s Thesis provides a (geometrical) formula to determine the boundary index of an isolated, saturated equilibrium of a vector field in the plane. It is assumed that the non-negative orthant (or other state spaces, e.g., the probability simplex) is forward invariant and the equilibrium is part of the boundary of the non-negative orthant. In the beginning, Brouwer degree theory is used to introduce the general concept of the index of an equilibrium. Then, we focus on biological systems and the boundary index, in particular we give a proof of the boundary index theorem by Hofbauer on the simplex. The first chapter is completed by a study of plane vector fields and the concept of rotation, which happens to be equivalent to the degree. In the second chapter we prove an analogue of Bendixsons’s index formula for the boundary index of an isolated, saturated equilibrium in the plane. We continue with a superficial treatment of homogeneous vector fields and conclude with a boundary index formula for non-degenerate systems.