Cyclic cohomology of non-commutative tori

Mischa Matthias Elkner

doi:10.25365/thesis.72091

Title (eng)

Parallel title (deu)

Zyklische Kohomologie nichtkommutativer Tori

Author

Mischa Matthias Elkner

Advisor

Shantanu Dave

Assessor

Shantanu Dave

Abstract (deu)

Thema dieser Arbeit sind nichtkommutative Tori, insbesondere deren zyklische Kohomologie. Für die Prä-C*-Algebra der glatten Funktionen auf einem nichtkommutativen Torus wird, basierend auf der Arbeit von R. Nest, die (periodische) zyklische Kohomologie explizit berechnet. Die Berechnung besteht aus zwei Teilschritten: Im ersten Schritt beschreiben wir die Hochschild-Kohomologie über eine projektive Auflösung; im zweiten Schritt wird über eine Spektralsequenz auf die periodische zyklische Kohomologie geschlossen. Als Anwendung wird die von A. Connes entwickelte Indextheorie gewisser elliptischer Differenz-Differentialgleichungen, die mit nichtkommutativen Tori assoziiert sind, diskutiert. Die notwendigen Grundlagen aus nichtkommutativer Geometrie sind im ersten Kapitel zusammengefasst. Ziel dieser Arbeit ist eine detaillierte Darstellung dieser bereits bekannten Resultate.

Abstract (eng)

This thesis is about non-commutative tori, in particular their cyclic cohomology. We explicitly compute the (periodic) cyclic cohomology of the pre-C* algebra of smooth functions on a non-commutative torus, along the lines of R. Nest. The calculation consists of two steps: in the first, we describe the Hochschild cohomology using a projective resolution; the second step employs a spectral sequence which relates the Hochschild cohomology with the periodic cyclic cohomology. As an application, we discuss the index theory of certain elliptic difference-differential equations associated to non-commutative tori, as developed by A. Connes. Preliminary facts about non commutative geometry are summarised in the first chapter. This work is expository rather than original, the aim being to give a detailed account of the previously mentioned results.

Keywords (deu)

Nichtkommutative GeometrieNichtkommutative ToriZyklische KohomologieC*-Algebren

Keywords (eng)

non-commutative geometrynon-commutative toricyclic cohomologyC* algebras

Subject (deu)

Algebraische Topologie

Subject (deu)

Funktionalanalysis

Subject (deu)

Operatortheorie

Type (deu)

Masterarbeit

Persistent identifier

https://phaidra.univie.ac.at/o:1586514

DOI

10.25365/thesis.72091

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-10290.30067.745920-4

URI

https://utheses.univie.ac.at/detail/64116

Extent (deu)

v, 70 Seiten

Number of pages

76

Study plan

Masterstudium Mathematik

[UA]

[066]

[821]

Association (deu)

Fakultät für Mathematik

Title (eng)

Cyclic cohomology of non-commutative tori

Parallel title (deu)

Zyklische Kohomologie nichtkommutativer Tori

Author

Mischa Matthias Elkner

Abstract (deu)

Thema dieser Arbeit sind nichtkommutative Tori, insbesondere deren zyklische Kohomologie. Für die Prä-C*-Algebra der glatten Funktionen auf einem nichtkommutativen Torus wird, basierend auf der Arbeit von R. Nest, die (periodische) zyklische Kohomologie explizit berechnet. Die Berechnung besteht aus zwei Teilschritten: Im ersten Schritt beschreiben wir die Hochschild-Kohomologie über eine projektive Auflösung; im zweiten Schritt wird über eine Spektralsequenz auf die periodische zyklische Kohomologie geschlossen. Als Anwendung wird die von A. Connes entwickelte Indextheorie gewisser elliptischer Differenz-Differentialgleichungen, die mit nichtkommutativen Tori assoziiert sind, diskutiert. Die notwendigen Grundlagen aus nichtkommutativer Geometrie sind im ersten Kapitel zusammengefasst. Ziel dieser Arbeit ist eine detaillierte Darstellung dieser bereits bekannten Resultate.

Abstract (eng)

This thesis is about non-commutative tori, in particular their cyclic cohomology. We explicitly compute the (periodic) cyclic cohomology of the pre-C* algebra of smooth functions on a non-commutative torus, along the lines of R. Nest. The calculation consists of two steps: in the first, we describe the Hochschild cohomology using a projective resolution; the second step employs a spectral sequence which relates the Hochschild cohomology with the periodic cyclic cohomology. As an application, we discuss the index theory of certain elliptic difference-differential equations associated to non-commutative tori, as developed by A. Connes. Preliminary facts about non commutative geometry are summarised in the first chapter. This work is expository rather than original, the aim being to give a detailed account of the previously mentioned results.

Keywords (deu)

Nichtkommutative GeometrieNichtkommutative ToriZyklische KohomologieC*-Algebren

Keywords (eng)

non-commutative geometrynon-commutative toricyclic cohomologyC* algebras

Subject (deu)

Algebraische Topologie

Subject (deu)

Funktionalanalysis

Subject (deu)

Operatortheorie

Type (deu)

Masterarbeit