Die spezifische relative Entropie wurde von N. Gantert in ihrer Dissertation, [3], eingeführt um die Diskrepanz zwischen zwei Verteilungen stetiger Prozesse zu messen. Sie tritt als Verfeinerung der gewöhnlichen relativen Entropie auf, wenn die betreffenden Verteilungen zueinander singulär sind. Kürzlich wurde durch die Arbeit [1] von H. Föllmer, in der die spezifische relative Entropie in einer Transport-Informations Ungleichung auftaucht, das Interesse an diesem Thema neu geweckt. Wir beginnen damit alle nötigen Konzepte aus den Bereichen Stochastische Analysis und relative Entropie betreffend vorzustellen. Anschließend fassen wir die fundamentalen Aspekte der spezifisch relativen Entropie zusammen, indem wir den Beitrag [3, Chapter 1] detailliert erläutern. Dabei liegt der Fokus auf der spezifischen relativen Entropie zwischen der Verteilung eines stetigen Martingals und dem Wiener Maß. Die zwei Hauptresultate diesbezüglich sind, dass, im Falle eines Gaußprozesses, ein geschlossener Ausdruck für die spezifisch relative Entropie bezüglich der quadratischen Variation existiert und dass im allgemeinen Fall zumindest eine Ungleichung gilt. Dies lässt vermuten, dass dieser Ausdruck auch im allgemeinen Fall eine Formel für die spezifische relative Entropie darstellt. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht darin, die Vermutung in zwei Richtungen zu verifizieren. Wir betrachten eine Klasse Zeit-inhomogener Diffusionsprozesse, sogenannte monotone Transformationen der brownschen Bewegung, ebenso wie Zeit-homogene Diffusionsprozesse mit recht starken Regularitätsanforderungen an die Koeffizienten, und zeigen die Gültigkeit der vermuteten Formel für die spezifische relative Entropie in diesen Fällen.

The specific relative entropy was introduced by N. Gantert in her dissertation, [3], to measure the discrepancy between the laws of continuous processes. It arises as a refinement of the standard relative entropy when the laws in question are mutually singular. Recently, H. Föllmer has rekindled the interest on the subject in the work [1] where the specific relative entropy appears in a novel transport-information inequality. We first introduce all necessary concepts from stochastic analysis and some important properties of relative entropy. With these at hand we summarize the fundamental aspects of the specific relative entropy by discussing and illustrating the contribution [3, Chapter 1] in detail. Here, the focus is on the specific relative entropy of the law of a continuous martingale with respect to Wiener measure. The two main results in that regard are: there exists a closed form expression for the specific relative entropy in terms of the quadratic variation in the Gaussian case; and at least an inequality holds in all generality. This leads to the conjecture that this expression gives a formula for the specific relative entropy in the general case as well. The main contribution of this thesis is to verify this conjecture in two directions. Firstly, we consider a class of time-inhomogeneous diffusions, so-called monotone transformations of Brownian motion. Secondly, we consider time-homogeneous diffusions with rather regular coefficients. In both cases we show the validity of the conjectured formula for the specific relative entropy.