Diese Masterarbeit legt das Fundament zur Stabilitätsanalyse von Wellenfunktionen auf dem Vorwärtslichtkegel welche als Lösungen einer bestimmten geometrischen Wellengleichung auftauchen. Das Werkzeug aus der Funktionalanalysis das vorwiegend benutzt wird ist die Halbgruppentheorie. Da die Arbeit für einen Masterstudenten verständlich sein sollte, werden nach einer kurzen Einführung in das zu behandelnde Problem, im ersten Kapitel die wichtigsten Begriffe der elementaren Halbgruppentheorie präsentiert. Der Umfang der präsentierten Halbgruppentheorie reicht bis zu dem Lumer-Phillips Theorem, mit welchem unter anderem Lösungen zu abstrakten Cauchy Problemen erzeugt werden können. Dieses Ergebnis legt den Grundstein für das zweite Kapitel. Das zweite Kapitel ist Originalwerk. Die Stabilitätsanalyse wird durch die Einführung von sogenannten ”vorwärts selbstähnlichen Koordinaten” angegangen. Durch diese Koordinaten werden obere Abschätzungen der Energie von Lösungen der freien Wellengleichung in jeder ungeraden Dimension herausgearbeitet, die in Halbgruppensprache verfasst werden. Dies verkörpert das Hauptresultat dieses Kapitels, welches zugleich das Hauptresultat der gesamten Arbeit darstellt. Das dritte Kapitel ist eine kurze Erläuterung wie die erreichten Ergebnisse in der gesamten Analyse des nicht-linearen Problems einzuordnen sind und wie man fortfahren würde.

This master thesis lays the groundwork for a stability analysis of wave maps on the forward light cone which arise as solutions of a particular geometric wave equation. The main functional analytical tool to tackle this problem will be semigroup theory. Since the thesis is designed to be able to be read by a graduate student, after a short introduction to the problem we are concerned with, the first chapter is an introduction to the most important notions of elementary semigroup theory. The scope of the semigroup theory presented extends to the often called Lumer-Phillips Theorem, inter alia giving rise to solutions of abstract Cauchy problems. This will serve as the foundation for the second chapter. The second chapter will be original work. The stability analysis will be approached by the introduction of novel coordinates which will be called ”forward self-similarity coordinates”. Through these coordinates, energy bounds for solutions of the free wave equation in every odd dimension will be obtained, presented in semigroup language. This embodies the main result in this chapter, also being the main result of this thesis overall. The third and final chapter is a short discussion on how to place the achieved results in the overall analysis of the non-linear analysis and how one would proceed.