Das Ziel der statistischen Mechaniks ist es, ausgehend von mikroskopischen Beschreibungen das makroskopische Verhalten großer, aus wechselwirkenden Teilchen bestehenden Körper zu verstehen. Wenn sich die Energie des Systems ändert, durchlaufen diese Modelle oft einen Phasenübergang, bei dem sich das qualitative makroskopische Verhalten plötzlich ändert. Sowohl Mathematiker als auch Physiker sind daran interessiert, das Verhalten am und in der Nähe des kritischen Punktes zu verstehen. In dieser Arbeit werden wir uns auf zwei Aspekte der Theorie konzentrieren: einerseits auf das Verständnis der Graphen, auf denen die Modelle leben, und andererseits auf kontinuierliche Spinmodelle. Es stellt sich heraus, dass die Geometrie des Raums und einige Eigenschaften der Modelle miteinander verbunden sind; ein Beispiel für Universalität. Das mathematisch vielleicht am besten nachvollziehbare Modell ist der Uniform Spanning Tree (UST), der eng mit dem Gaußschen freien Feld verbunden ist. Im ersten Teil der Arbeit zeigen wir eine Verbindung zwischen der Geometrie bestimmter (zufälliger) Graphen und diesem UST. Insbesondere beweisen wir, dass für rekurrente, reversible Graphen die folgenden Bedingungen äquivalent sind: (a) Existenz und Einzigartigkeit des Potentialkerns, (b) Existenz und Einzigartigkeit des harmonischen Maßes aus dem Unendlichen, (c) eine neue verankerte Harnack-Ungleichung, und (d) Einseitigkeit des einheitlichen Spannbaums. Diese Ergebnisse ergeben sich aus kombinatorischen Eigenschaften des Graphen, und die meisten gelten in großer Allgemeinheit. Aldous und Lyons stellten die Vermutung auf, dass für unimodulare Zufallsgraphen der verdrahtete einheitliche Spannbaum immer einseitig ist, es sei denn, der Graph ist trivial (d. h. er hat zwei Enden). Dies wurde für den transienten Fall von Hutchcroft bewiesen. Die trivialen Graphen sind jedoch immer rekurrent und die Techniken für den transienten Fall lassen sich nicht auf den rekurrenten Fall verallgemeinern. Mit Hilfe der Verbindung zu potentiellen Kernen und dem harmonischen Maß aus dem Unendlichen setzen wir die Arbeit fort, indem wir zeigen, dass die Vermutung von Aldous und Lyons zutrifft. Im zweiten Teil der Arbeit konzentrieren wir uns auf kontinuierliche abelsche Spinmodelle und ihre dualen Höhenfunktionen. Wir werden in einem relativ elementaren und allgemeinen Formalismus ein Ergebnis von Sheffield zusammenfassen, das besagt, dass alle ergodischen Gibbsmaße für Höhenfunktionen extremal sind. Wir werden dann eine spezielle Schleifendarstellung für das XY-Modell einführen, die an die Zufallsstromdarstellung des Ising-Modells erinnert. Die Schleifendarstellung verbindet das planare Höhenfunktionsmodell und das duale Spinmodell miteinander. Unter Verwendung neuerer Ergebnisse über die so genannte Delokalisierung von ganzzahligen Höhenfunktionen auf dreiwertigen planaren Gittern und der Schleifendarstellung geben wir einen neuen Beweis für den berühmten Berezinskii-Kosterlitz-Thouless-Übergang im XY-Modell. Schließlich greifen wir die klassische Fourier-Dualität zwischen ganzzahligen Höhen-funktionen und ihren dualen abelschen Spinsystemen wieder auf. Wir führen einige neue Methoden ein, um neue Ergebnisse in hoher Allgemeinheit abzuleiten, darunter: eine universelle obere Schranke für die Varianz der Höhenfunktion in Bezug auf die Greensche Funktion (eine GFF-Schranke), Monotonie dieser Varianz in Bezug auf einen natürlichen Temperaturparameter, Delokalisierung für planare Graphen, und das Auftreten des BKT-Übergangs in planaren Spinmodellen.

The goal of statistical mechanics is to understand the macroscopic behavior of large bodies of interacting particles, starting from microscopic descriptions. As the energy of the system changes these models often undergo a phase transition where the qualitative macroscopic behavior suddenly changes. Both mathematicians and physicists are interested in understanding the behavior at and near the critical point. In this work, we will focus on two aspects of the theory: understanding the graphs on which the models live on the one hand, and continuous spin models on the other hand. It turns out that the geometry of the space and some properties of the models are connected; an instance of \emph{universality}. Mathematically perhaps the most tractable model is the Uniform Spanning Tree (UST), which is intrinsically related to the loop erased random walk. In the first part of the thesis, we will show a connection between the geometry of certain (random) graphs and this UST. In particular, we prove that for recurrent, reversible graphs, the following conditions are equivalent: (a) existence and uniqueness of the potential kernel, (b) existence and uniqueness of the harmonic measure from infinity, (c) a new anchored Harnack inequality, and (d) one-endedness of the uniform spanning tree. These results are obtained from combinatorial properties of the graph, and most hold in wide generality. It was conjectured by Aldous and Lyons that, for unimodular random graphs, the wired uniform spanning tree is always one-ended, unless the graph is trivial (is itself two-ended). This was proved in the transient case by Hutchcroft. However, the trivial graphs are always recurrent and the techniques for the transient case do not generalize to the recurrent case. Using the connection to potential kernels and the harmonic measure from infinity, we continue the thesis by showing that the conjecture of Aldous and Lyons holds. In the second part of the thesis, we focus on continuous abelian spin models and their dual height functions. We will summarize in a relatively elementary and general formalism a result of Sheffield which states that all ergodic Gibbs measures for height functions are extremal. We will then introduce a special loop representation for the XY model, which is reminiscent of the random current representation of the Ising model. The loop representation connects the planar height function model and the dual spin model together. Using recent results on the so-called delocalization of integer-valued height functions on trivalent planar lattices and the loop representation, we give a new proof of the famous Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in the XY model. Finally, we revisit the classical Fourier duality between integer-valued height functions and their dual abelian spin systems. We introduce some new methods to derive general results, including: a universal upper bound on the variance of the height function in terms of the Green's function (a GFF bound), monotonicity of this variance with respect to a natural temperature parameter, delocalization for planar graphs, and the occurrence of a BKT transition in planar spin models.