Das Ziel dieser Arbeit ist es, das Skorokhod'sche Einbettungsproblem und seine Lösungsmethoden zu nutzen, um Theoreme im Feld der Finanzmathematik zu beweisen. Wir sind vorwiegend daran interessiert, Preisuntergrenzen für gewisse Finanzoptionen zu ermitteln. Hierbei wollen wir allerdings kein konkretes stochastisches Modell verwenden. In Kapitel 1 stellen wir grundlegende Theorie zur Brown'schen Zufallsbewegung, zu Martingalen und zum Stochastischen Integral vor, um sicherzustellen, dass diese Arbeit von allen Studierenden mit einem Basiswissen über Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie gelesen werden kann. Wir formulieren Sätze wie das Optional Sampling Theorem, Itô's Formel oder Radon-Nikodym und zeigen anhand von Beispielen, wie diese Sätze verwendet werden können. Weiters stellen wir grundlegende Begriffe, Resultate und Konzepte aus dem Feld der Finanzmathematik vor. Insbesondere definieren und erklären wir Optionen, das Konzept der Preisfindung mittels äquivalenten Martingalmaßen, das Black--Scholes Modell, replizierende Handelsstrategien und Arbitrage. Im zweiten Kapitel zeigen wir anhand eines motivierenden Beispieles, wie man eine modellunabhängige Preisuntergrenze für die sogenannte digital option finden kann. Weiters formulieren und beweisen wir eine Version des Satzes von Breeden-Litzenberger und stellen das Konzept von candidate price processes vor. Wir stellen im dritten Kapitel das Skorokhod'sche Einbettungsproblem vor und diskutieren die Lösungen von Doob, Hall und Root. Wir gehen der Frage nach Existenz und Eigenschaften von Lösungen nach und zeigen eine Optimalitätseigenschaft von Root's Lösung. Schlussendlich widmen wir uns in Kapitel 4 den finanzmathematischen Anwendungen des Einbettungsproblems. Wir verwenden Root's Lösung und dessen Optimalität, wobei wir zwei verschiedenen Ansätzen folgen: Zunächst definieren wir das sogenannte Root Model, um das Verhalten der zugrundeliegenden Aktie zu beschreiben, und zeigen, dass der in diesem Modell berechnete Preis minimal ist und somit als untere Schranke dient. Im zweiten Ansatz verwenden wir die Konstruktionen vom Beweis zu Root's Optimalität, um ein subreplizierendes Portfolio für die gegebene Option zu ermitteln. Der Preis dieses Portfolios liefert uns ebenfalls eine modellunabhängige Preisuntergrenze.

The goal of this thesis is to use the Skorokhod Embedding Problem and the methods to solve it to prove statements in the field of mathematical finance. Mainly we are interested in finding lower bounds for prices of options on volatility without specifying a concrete stochastic model. In chapter 1 we introduce some basic theory about Brownian motion, Martingales and Stochastic Integral to make sure this thesis can be read by anyone with fundamental knowledge about measure theory and probability theory. We state theorems like the Optional Sampling Theorem, Itô's Formula and Radon-Nikodym and show with the help of examples how they can be used. Further, we provide the reader with a detailed introduction of important terms, theorems and concepts from the field of mathematical finance. In particular, we will define and explain options, the concept of risk-neutral pricing, the Black-Scholes Model, hedging strategies, arbitrage. In chapter 2 we give a motivating example of a model-independent bound for the price of a digital option. We formulate and prove a version of the theorem of Breeden and Litzenberger, and introduce the concept of candidate price processes. We introduce the Skorokhod Embedding Problem in Chapter 3 and discuss solutions of Doob, Hall and Root. We answer the question about existence of solutions and establish basic properties of such. Further, we explain in which sense Root's solution is optimal and provide the reader with a detailed proof of this optimality property. Last but not least, in chapter 4 we establish bounds for prices of options based on volatility. An important tool is the Root solution of the Skorokhod Embedding Problem. We will follow two different approaches: First, we are going to define the Root Model to describe the behavior of the underlying stock, and show that prices computed by any other model cannot be below the price of the option in the Root model by the optimality property. In the second approach, we use constructions from the proof of optimality to determine a subhedging portfolio for the option. The amount of money necessary to acquire this portfolio yields a bound for the price of the option.