Diese Arbeit bietet eine grundlegende Einführung in die mathematische Logik. Zu Beginn werden historische Hintergründe zu den in der Arbeit vorkommenden Themen aufgezeigt. Dabei wird umfassend ausgeholt und die ersten Versuche, die Mathematik zu formalisieren, werden skizziert. Danach teilt sich der Hauptteil in drei weitere Schwerpunkte auf. Im zweiten Kapitel werden formale Systeme im Allgemeinen betrachtet und wichtige Konzepte der Metamathematik eingeführt. Dabei werden vor allem die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik erster Stufe als Grundlage für die kommenden Kapitel im Detail analysiert. Im dritten Teil der Arbeit wird die Peano-Arithmetik als Fundament der klassischen Mathematik eingeführt. Mithilfe der Axiome und Schlussregeln werden Sätze aus der klassischen Zahlentheorie innerhalb der Peano-Arithmetik formuliert und bewiesen. Im letzten Teil der Arbeit werden die Hauptresultate von Kurt Gödels Unvollständigkeitssätze aus dem Jahr 1931 analysiert, die Aufschluss über die Metaeigenschaften der Peano-Arithmetik und weitere formale Systeme der Mathematik geben.

This work provides a fundamental introduction to mathematical logic. It starts by providing historical background to the topics covered in the thesis. The first attempts to formalize mathematics are outlined. After that, the main part is divided into three further main focuses. The second chapter looks at formal systems in general and introduces important concepts of metamathematics. In particular, propositional logic and first order logic are analyzed in detail as the basis for the following chapters. In the third part of the thesis, Peano arithmetic is introduced as the foundation of classical mathematics. Using the axioms and deductive tools, theorems from classical number theory are formulated and proved within Peano arithmetic. In the final part of the thesis, the main results of Kurt Gödel's incompleteness theorems from 1931 are analyzed, which provide information about the meta-properties of Peano arithmetic and other formal systems of mathematics.