Durch Geometrische Vorstellung, entdeckte ich, vor einigen Jahren, wie man einen Einblick, in den Aufbau, von Mannigfaltigkeiten, mit Hilfe, der Morse Theorie, gewinnen kann. Über einige Jahre, habe ich mich, damit beschäftigt, und gewann dabei, ein immer, klareres Bild. Diese anschaulich, Geometrischen Fakten, habe ich versucht, in eine analytische Sprache, zu übersetzen. Dabei, geht naturgemäß, viel verloren. Das entstandene Werk, enthält keine neuen Erkenntnisse, in der Form, neuer Lehrsätze, wohl aber, eine stark, vom üblichen Zugang, abweichende Darstellung, und eine Sammlung, von Fakten, die zwar, seit einiger Zeit, bekannt sind, aber in der Literatur, kaum dokumentiert sind. So weiß ich, von dem Satz, dass jeder C00-Kobordismus, entweder Abbildungszylinder einer Abbildung, vom oberen Rand, auf einen relativen, CW-Komplex ist, nur dass er, von einem Herrn Cohen, in den sechziger Jahren, für (nicht notwendigerweise C00) Kobordismen, bewiesen wurde, die aus Henkeln, zusammengeklebt sind. Diesen Beweis, habe ich (vielleicht aus Bequemlichkeit), nie zu Gesicht bekommen. Leicht zu finden, dürfte er jedenfalls, nicht sein. Eben so wenig, leicht, dass es sich lohnt, ihn selbst nochmals, zu beweisen oder die vorgelegte Arbeit, zu lesen. Mit der Beweisidee, in dieser Arbeit, ließe sich nämlich, leicht, dasselbe, beweisen. Allerdings, sind diese, aus Henkeln, zusammen geklebten Objekte, hier nicht einmal, definiert, denn ich habe, vielmehr versucht, die Klebeabbildungen, im CW-Komplex, genauer zu beschreiben. Ich glaube auch, dass ich eine besonders, übersichtliche Methode, für die Konstruktion, des CW-Komplexes, gefunden habe. Sollte, diese Methode, nicht neu sein, so habe ich sie, zumindest, wiederentdeckt, ich glaube aber, sie ist neu. Die Mittel, die verwendet werden, sind größtenteils, elementare Rechnungen. Man braucht, wohl kaum, Kenntnisse, in Algebraischer Topologie, um die Beweise, zu verstehen. Ich weiß allerdings, nicht, ob man die Bedeutung, der Sätze, richtig erfassen kann, ohne solche Kenntnisse. Die Grundlage, der Beweismethode, wird von mir, Z-Struktur genannt, und in Kapitel 4 und 5, konstruiert. Beginnend, mit Kapitel 7, wird eine Konstruktionsmethode, für Kobordismen, angegeben. Ich habe, die Schwierigkeiten, die beim Verkleben, Topologischer Räume, auftreten, bewusst umgangen, obwohl das im Allgemeinen, eine heikle, Angelegenheit ist. Das erklärt die, auf den ersten Blick, etwas umständliche Ausdrucksweise, bei der Konstruktionsvorschrift, für Kobordismen. Einige Eigenschaften, dieser zusammengeklebten Räume, scheinen offensichtlich, sind aber nicht, so leicht, zu beweisen, wie es scheint. Auf dieser Konstruktion, gibt es, eine gegebene Z-Struktur. Damit folgt, aus der Konstruktionsvorschrift, für den Kobordismus, schon die Konstruktion, des CW-Komplexes. In Kapitel 11, wird bewiesen, dass jeder Kobordismus, auf die gewählte Methode, konstruiert werden kann. Kapitel 12 bis 16, beschäftigt sich, mit differential topologischer Technik, die nötig ist, um die konstruierten CW-Komplexe, so genau, wie möglich, zu beschreiben. Ein wichtiges Theorem, über das Paarweise eliminieren, kritischer Punkte, einer Morse Funktion, wird als Theorem 15.4, bewiesen, hier habe ich den Beweis, nicht nur übersetzt, sondern auch, verändert. Denn das Original, war keineswegs, elementar, sondern benutzte, wohl aus Bequemlichkeit, Eigenschaften, der Topologie, am Raum, der Trajektorien, was für diesen Beweis, völlig, unnötig ist. Leider, habe ich mir nicht, Zeit genommen, über die Bedeutung, dieses Satzes, mehr zu sagen, aber in der Literatur, gibt es genug, Ausführungen, darüber. Eingereicht an der Formal- und Naturwissenschaftliche Fakultät, Institut für Mathematik, Wien, Österreich, am 15. März, 1990.

Through geometric imagination, I discovered, a few years ago, how to gain an insight into the structure of manifolds, with the help of Morse theory. For several years, I have been working on this and have gained an increasingly clearer picture. I have tried to translate these vivid geometric facts into an analytical language. Naturally, much is lost in the process. The resulting work does not contain any new findings in the form of new theorems, but rather a presentation that differs greatly from the usual approach, and a collection of facts that have been known for some time, but are hardly documented in the literature. Thus, I know of the theorem that every C00 cobordism is either a mapping cylinder of a mapping, from the upper edge, to a relative CW complex, only that it was proved by a Mr. Cohen, in the sixties, for (not necessarily C00) cobordisms glued together from handles. I never got to see this proof (perhaps out of convenience). In any case, it should not be easy to find. Just so little, easy, that it is worthwhile to prove it again myself, or to read the presented work. With the idea of proof in this work, it would be easy to prove the same thing. However, these objects, glued together from handles, are not even defined here, because I have rather tried to describe the adhesive images in the CW complex more precisely. I also believe that I have found a particularly clear method for the construction of the CW complex. If this method is not new, I have at least rediscovered it, but I believe it is new. The means used are, for the most part, elementary calculations. You hardly need any knowledge of algebraic topology to understand the proofs. However, I do not know whether one can grasp the meaning of the theorems correctly without such knowledge. The basis, of the proof method, is called by me, Z-structure, and constructed in chapters 4 and 5. Beginning with chapter 7, a construction method for cobordisms is given. I have deliberately avoided the difficulties that arise when gluing topological spaces, although this is generally a delicate matter. This explains the, at first sight, somewhat awkward way of expressing the construction rules for cobordisms. Some properties of these glued spaces seem obvious, but are not as easy to prove as they seem. On this construction, there is a given Z-structure. Thus, the construction of the CW-complex follows from the construction rule for the cobordism. Chapter 11 proves that every cobordism can be constructed using the chosen method. Chapters 12 to 16 deal with the differential topological technique necessary to describe the constructed CW-complexes as accurately as possible. An important theorem, about the pairwise elimination of critical points of a Morse function, is proved as Theorem 15.4, here I have not only translated the proof, but also modified it. Because the original, was by no means, elementary, but used, probably for convenience, properties, of topology, on the space, of trajectories, which is, for this proof, completely, unnecessary. Unfortunately, I have not, taken the time to say more, about the meaning, of, this theorem, but there are enough, explanations, in the literature, about it. Submitted to the Formal and Natural Sciences Faculty, Institute of Mathematics, Vienna, Austria, March 15, 1990.

Formal- und Naturwissenschaftliche Fakultät