Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Euler-Charakteristik für Gebiete im ℝ^2. Zuerst werden die Euler-Charakteristik einer Triangulierung, der Satz von Poincaré-Hopf und der Satz von Gauß-Bonnet für Gebiete im ℝ^2 vorgestellt und einige für diese Zusammenhänge wichtige Definitionen wiederholt. Anschließend werden die Euler-Charakteristik einer Triangulierung, der Satz von Gauß-Bonnet und der Satz von Poincaré-Hopf miteinander in Bezug gesetzt. Daraus ergeben sich Sätze, welche mit kombinatorischen, topologischen und geometrischen Zugängen bewiesen werden. Die Arbeit beschränkt sich dabei auf Gebiete im ℝ^2, damit die Beweise mit elementarer Analysis in mehreren Variablen durchgeführt werden können.

This thesis deals with the Euler characteristic for regions in ℝ^2. First, the Euler characteristic of a triangulation, the Poincaré-Hopf theorem and the Gauss-Bonnet theorem for regions in ℝ^2 are presented and some relevant definitions for these theorems are recalled. Subsequently, the Euler characteristic of a triangulation, the Gauss-Bonnet theorem and the Poincaré-Hopf theorem are compared. This results in theorems which are proved using combinatorial, topological and geometric approaches. The work is restricted to regions in ℝ^2 so that the proofs can be carried out by using elementary multivariable calculus.