Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich überwiegend mit Quanten-Systemen, die zwei (auch qubit genannt) oder im allgemeinsten Fall d Freiheitsgrade (auch qudit genannt) aufweisen. Insbesondere werden die Eigenschaften zusammengesetzter Quanten-Systeme bezüglich Separabilität beziehungsweise Verschränkung auf geometrische Weise dargestellt. Beruhend auf ähnlichen, bereits bekannten Überlegungen für zwei Qubit oder zwei Qudit Systeme, werden mögliche Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse für Vielteilchensysteme präsentiert. Des Weiteren wird das Verhalten dieser Vielteilchensysteme bezüglich der gängigsten Separabilit ätskriterien, wie z.B. des Peres-Horodecki Kriteriums, des Realignment Kriteriums, der Destillation von Verschränkung und Verschränkungsmaßen, sowohl numerisch als auch analytisch betrachtet. Es wird im Einzelnen gezeigt wie, in Anlehnung an den zwei Qubit Simplex, ein n-Teilchen Simplex bestehend aus Qubit Zuständen konstruiert werden kann und warum alle Zustände in diesem Simplex 'bound-entangled' sind. Dieses Ergebnis wurde bereits in Physical Review A 78, 042327 (2008) publiziert. Außerdem werden zwei verschiedene Konstruktionen eines n-Teilchen Wk-Simplex vorgestellt, die beide für den n = 2 Fall mit dem bekannten 'Magic Tetrahedron' übereinstimmen. Für den speziellen Fall des drei Teilchen Wk-Simplex (W-Zustand Simplex) werden bestimmte Symmetrien der jeweiligen Quanten Systeme bezüglich der oben erwähnten Separabilitätskriterien aufgezeigt und dementsprechend verschiedene Subklassen von Zustände eingeführt. Zusätzlich zu diesen Symmetrien können durch diese geometrische Veranschaulichung der Zustände, d.h. durch verschiedene Schnitte dieser Simplices, die verschiedenen Kriterien präzise und leicht auf optischem Wege verglichen werden. Aus diesem Grund werden die in dieser Arbeit beschriebenen Ergebnisse dazu beitragen sowohl zusammengesetzte Quanten-Systeme als auch das damit verbundene faszinierende Phänomen der Verschr änkung, welches die Grundlage für zukünftige Technologien, wie etwa Quantenkryptography, Quantenkommunikation oder möglicherweise Quantencomputer, bilden wird, besser zu verstehen.

In this thesis, quantum states of two level systems (called qubits) as well as d-level systems (called qudits), d < 1, are investigated. The focus is on characterizing the property of separability and entanglement of composite systems geometrically. Since to some extend this has already been investigated for two qubit or two qudits, this work presents possible generalizations for systems comprising more particles (multipartite). It also shows analytically and numerically how these generalizations affect the prevalent separability criteria such as the Peres-Horodecki criterion, the realignment criterion, the distillation of entanglement and entanglement measures. It is shown in detail how a simplex of n-partite qubit states can be constructed in the similar manner to the bipartite qubit case and why all its elements are bound entangled states. This result is published in Physical Review A 78, 042327 (2008). Furthermore, two different constructions of an n-partite Wk-simplex are presented, which both coincide for n = 2 with the famous magic tetrahedron. For the special cases of the tripartite Wk-simplices (W-state simplices) special symmetries of the eligible quantum systems according to the mentioned separability criteria are revealed and certain subclasses of states can be discriminated. In addition to unveiling these symmetries via this geometrical representation of quantum states, the different cuts of such simplices also allow a precise comparison of the different criteria in a visual and easy way. These facts are therefore contributing to understand and characterize composite quantum systems as well as the associated exciting phenomenon of entanglement and its future applications, such as quantum cryptography, quantum communication or a possible quantum computer.