Abstract (deu)
Basierend auf dem Werk "Multiplication of distributions and applications to partial differential equations" von M. Oberguggenberger, liegt der Fokus dieser Diplomarbeit auf der Entwicklung einer Hierarchie, die Zusammenhänge von verschiedenen Produkten von Distributionen beschreibt.
Die im Zuge dessen behandelten Methoden reichen von der Distributionentheorie, über lokal konvexe Vektorräume und Funktionalanalysis bis hin zu mikrolokaler Analysis. Dabei wird der Versuch unternommen, den Leser und die Leserin mit dem mathematischen Handwerkszeug auszustatten, um selbst tiefer in nicht lineare Distributionentheorie eintauchen, oder es im Bereich der partiellen Differentialgleichungen anwenden zu können.
Nach einer kurzen Einleitung im ersten Kapitel, werden im zweiten Kapitel die Probleme, die mit der Multiplikation von Distributionen einhergehen, und mehrere Lösungsansätze erörtert.
Im dritten Kapitel wird die Dualitätsmethode und deren Anwendung auf allgemeine Sobolev Räume präsentiert, welche in einem separaten Abschnitt dieses Kapitels behandelt werden.
Kapitel vier deckt die Fouriermethode ab. Zunächst wird dabei die Faltung von temperierten Distributionen entwickelt, dann das Fourierprodukt definiert und schlussendlich mit einer mikrolokalen Sichtweise verknüpft.
Die dritte Methode wird im fünften Kapitel beschrieben. Dabei wird eine Distribution auf mehreren Arten geglättet, um dann mit Hilfe eines Grenzwertprozesses, verschiedene Produkte von Distributionen zu definieren. Dies führt zu einem sehr allgemeinen Konzept für die Multiplikation von Distributionen.
Das letzte Kapitel widmet sich der Hierarchie. In Form von Kompatibilitätstheoremen werden hier die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Produkten bewiesen.
Um den Inhalt dieser Diplomarbeit leicht verstehen zu können, werden Kenntnisse aus linearer Distributionentheorie empfohlen. Weitere Anforderungen sind, dank einer ausführlichen Bibliographie und dem Versuch verständliche und komplette Beweise zu präsentieren, nicht notwendig.