Basierend auf dem Werk "Multiplication of distributions and applications to partial differential equations" von M. Oberguggenberger, liegt der Fokus dieser Diplomarbeit auf der Entwicklung einer Hierarchie, die Zusammenhänge von verschiedenen Produkten von Distributionen beschreibt. Die im Zuge dessen behandelten Methoden reichen von der Distributionentheorie, über lokal konvexe Vektorräume und Funktionalanalysis bis hin zu mikrolokaler Analysis. Dabei wird der Versuch unternommen, den Leser und die Leserin mit dem mathematischen Handwerkszeug auszustatten, um selbst tiefer in nicht lineare Distributionentheorie eintauchen, oder es im Bereich der partiellen Differentialgleichungen anwenden zu können. Nach einer kurzen Einleitung im ersten Kapitel, werden im zweiten Kapitel die Probleme, die mit der Multiplikation von Distributionen einhergehen, und mehrere Lösungsansätze erörtert. Im dritten Kapitel wird die Dualitätsmethode und deren Anwendung auf allgemeine Sobolev Räume präsentiert, welche in einem separaten Abschnitt dieses Kapitels behandelt werden. Kapitel vier deckt die Fouriermethode ab. Zunächst wird dabei die Faltung von temperierten Distributionen entwickelt, dann das Fourierprodukt definiert und schlussendlich mit einer mikrolokalen Sichtweise verknüpft. Die dritte Methode wird im fünften Kapitel beschrieben. Dabei wird eine Distribution auf mehreren Arten geglättet, um dann mit Hilfe eines Grenzwertprozesses, verschiedene Produkte von Distributionen zu definieren. Dies führt zu einem sehr allgemeinen Konzept für die Multiplikation von Distributionen. Das letzte Kapitel widmet sich der Hierarchie. In Form von Kompatibilitätstheoremen werden hier die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Produkten bewiesen. Um den Inhalt dieser Diplomarbeit leicht verstehen zu können, werden Kenntnisse aus linearer Distributionentheorie empfohlen. Weitere Anforderungen sind, dank einer ausführlichen Bibliographie und dem Versuch verständliche und komplette Beweise zu präsentieren, nicht notwendig.

Based upon M. Oberguggenberger's "Multiplication of distributions and applications to partial differential equations", the focus of this thesis is developing and presenting a hierarchy, describing the relations between several products of distributions. The methods discussed in this context range from distribution theory, locally convex vector spaces and functional analysis to even microlocal analysis, with the aim of equipping the reader with the proper tools to delve deeper into the topic of nonlinear distribution theory or enabling the reader to apply them to applications in partial differential equations. After a short introduction in the first chapter, the investigation of the topic starts in the second chapter with the problems of multiplication of distributions and several possible approaches to deal with them. The third chapter presents the duality method and applies it to general Sobolev spaces, which are included in a separate section of this chapter. Chapter four covers the Fourier method by first developing a convolution for tempered distributions, then defining the Fourier product and connecting it with a microlocal perspective. The third method, described in the fifth chapter, is gained through regularization. Having several possible ways to define strict and model products, this method generates a very general concept for a multiplication of distributions. The final chapter is dedicated to proving the relations within the hierarchy for products of distributions in the form of compatibility theorems. In order to comprehend the content, the reader is advised to have basic knowledge of linear distribution theory. By trying to give comprehensible and full proofs in addition to an extensive bibliography, no further requirements are necessary.