A new proof for the embedded resolution of surface singularities in arbitrary characteristic

Stefan Perlega

doi:10.25365/thesis.49160

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Title (eng)

A new proof for the embedded resolution of surface singularities in arbitrary characteristic

Parallel title (deu)

Ein neuer Beweis für die eingebettete Auflösung von Flächensingularitäten in beliebiger Charakteristik

Author

Stefan Perlega

Advisor

Herwig Hauser

Assessor

Santiago Encinas

Hiraku Kawanone

Abstract (deu)

In dieser Arbeit wird ein neuer Beweis für die eingebettete Auflösung von Flächensingularitäten in einem dreidimensionalen glatten Umgebungsraum über einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper beliebiger Charakteristik vorgestellt. Der Beweis verwendet eine halbstetige Auflösungsinvariante, welche in jedem Schritt des Auflösungsprozesses das Zentrum definiert und die sich unter Blowup strikt verbessert. Die Definition der Auflösungsinvariante orientiert sich an den Beweisen für Auflösung von Singularitäten in beliebiger Dimension über Körpern der Charakteristik Null. Sie wurde entwickelt in dem Versuch, diese Beweise auf die Situation über Körpern beliebiger Charakteristik zu verallgemeinern. Die übliche Auflösungsinvariante aus dem Beweis für Auflösung von Singularitäten in Charakteristik Null verhält sich über Körpern positiver Charakteristik sehr schlecht. Sie ist nicht halbstetig und kann daher nicht verwendet werden, um das Zentrum zu definieren. Weiters kann sie sich unter Blowup verschlechtern, was das Induktionsargument zerstört. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Probleme im Fall von Flächensingularitäten in einem dreidimensionalen glatten Umgebungsraum überwunden werden können. Dies erfordert eine entsprechende Modifikation der Auflösungsinvariante, sodass Halbstetigkeit und Verbesserung unter Blowup in beliebiger Charakteristik gewährleistet sind.

Abstract (eng)

This thesis exhibits a new proof for the embedded resolution of surface singularities in a three-dimensional smooth ambient space over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. The proof makes use of an upper semicontinuous resolution invariant which prescribes the center in each step of the resolution algorithm. The resolution invariant strictly decreases under each blowup. The definition of the resolution invariant is inspired by the proofs of resolution of singularities in arbitrary dimension over fields of characteristic zero. It was developed in an attempt to generalize these proofs to the setting of arbitrary characteristic. The usual resolution invariant which is used in characteristic zero behaves very badly over fields of positive characteristic. It is not upper semicontinuous and hence, it cannot be used to define the center. Further, the invariant may increase under blowup which destroys the induction argument. In this thesis, it is shown how these problems can be overcome in the case of surface singularities which are embedded in a three-dimensional smooth ambient space. This is achieved by modifying the resolution invariant in such a way that it becomes upper semicontinuous and strictly decreases under blowup in any characteristic.

Keywords (eng)

Algebraic geometryCommutative algebraResolution of singularitiesPositive characteristic

Keywords (deu)

Algebraische GeometrieKommutative AlgebraAuflösung von SingularitätenPositive Charakteristik

Subject (deu)

Algebraische Geometrie

Type (deu)

Dissertation

Persistent identifier

https://phaidra.univie.ac.at/o:1338654

DOI

10.25365/thesis.49160