Sobolev-Räume spielen eine Schlüsselrolle sowohl beim Beweis der Existenz von Lösungen linearer symmetrischer hyperbolischer Systeme als auch beim Beweis der lokalen Existenz von Lösungen nichtlinearer Wellengleichungen. Hier zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen linearer symmetrischer hyperbolischer Systeme. Wir beschreiben grundlegende Eigenschaften und beweisen wichtige Abschätzungen in Sobolev- Räumen. Indem wir die exakte Form der Dualität benutzen zeigen wir die Existenz von Lösungen linearer symmetrischer hyperbolischer Systeme. Mithilfe der Sobolev- Einbettungsungleichung können wir die Regularität von Sobolev-Räumen mit der klassischen Differenzierbarkeit verbinden. Infolgedessen können wir k-mal stetig differenzierbare oder sogar glatte Lösungen erhalten.

Sobolev spaces play a key role in the proof of existence of solutions to linear symmetric hyperbolic systems and in the proof of local existence of solutions to non linear wave equations. Here we prove the existence and uniqueness of solutions to linear symmetric hyperbolic systems. We describe basic properties and prove important estimates of Sobolev spaces. By using the exact form of the duality we prove existence of solutions to linear symmetric hyperbolic systems. By the Sobolev embedding inequality we can connect the regularity of Sobolev spaces with classical differentiability. Consequently, we can obtain k times continuously differentiable or even smooth solutions.